Was ist Log in der Mathmatik?
In der Mathematik bezieht sich der Begriff "Log" (kurz für Logarithmus) auf eine Funktion, die die Umkehrung der Exponentialfunktion darstellt.
Definition:
Der Logarithmus einer Zahl ( b ) zur Basis ( a ) ist diejenige Zahl ( x ), für die gilt:
[ a^x = b ]
Man schreibt:
[ x = \log_a(b) ]
Wichtige Eigenschaften:
-
Basis 10 (Dekadischer Logarithmus):
[ \log{10}(b) ] – oft einfach als ( \log(b) ) geschrieben (vor allem in Ingenieurwissenschaften).
Beispiel: ( \log{10}(100) = 2 ), weil ( 10^2 = 100 ). -
Natürlicher Logarithmus (Basis ( e )):
[ \ln(b) = \log_e(b) ]
Hier ist ( e \approx 2.71828 ) die Eulersche Zahl.
Beispiel: ( \ln(e^3) = 3 ). -
Binärer Logarithmus (Basis 2):
[ \log_2(b) ] – wichtig in der Informatik.
Beispiel: ( \log_2(8) = 3 ), weil ( 2^3 = 8 ).
Rechenregeln:
- Produktregel:
[ \log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y) ] - Quotientenregel:
[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y) ] - Potenzregel:
[ \log_a(x^k) = k \cdot \log_a(x) ] - Basiswechsel:
[ \log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} ] (z. B. für Umrechnung zwischen Basen).
Anwendungen:
- Lösen von Exponentialgleichungen (z. B. ( 2^x = 8 ) → ( x = \log_2(8) = 3 )).
- Skalierung von Daten (z. B. pH-Wert, Dezibel).
- Komplexitätstheorie (O-Notation in der Informatik).
Kurz gesagt: Der Logarithmus beantwortet die Frage: "Mit welcher Potenz muss ich die Basis ( a ) erheben, um ( b ) zu erhalten?"