Drei Arbeiter erledigen eine Arbeit, Arbeiter 1 und 2 brauchen dafür 12 Tage, Arbeiter 1 und 2 15 Tage und Arbeiter 2 und 3 20 Tage. Wie lange brauchen alle 3 Arbeiter?
Wir haben folgende Angaben:
- Arbeiter 1 und 2 brauchen zusammen 12 Tage für die Arbeit.
- Arbeiter 1 und 3 brauchen zusammen 15 Tage.
- Arbeiter 2 und 3 brauchen zusammen 20 Tage.
Gesucht ist, wie lange alle 3 zusammen benötigen.
Lösung:
Definieren wir:
- (r_1): Arbeitsrate von Arbeiter 1 (Anteil der Arbeit pro Tag)
- (r_2): Arbeitsrate von Arbeiter 2
- (r_3): Arbeitsrate von Arbeiter 3
Die Raten addieren sich bei gemeinsamer Arbeit.
Aus den Angaben:
[
\begin{cases}
r_1 + r_2 = \frac{1}{12} \
r_1 + r_3 = \frac{1}{15} \
r_2 + r_3 = \frac{1}{20}
\end{cases}
]
Wir wollen:
[
r_1 + r_2 + r_3 = ?
]
Schritt 1: Addiere alle drei Gleichungen:
[
(r_1 + r_2) + (r_1 + r_3) + (r_2 + r_3) = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20}
]
Links:
[
(r_1 + r_2) + (r_1 + r_3) + (r_2 + r_3) = 2(r_1 + r_2 + r_3)
]
Rechts: gemeinsamer Nenner von 12, 15, und 20 ist 60.
[
\frac{1}{12} = \frac{5}{60}, \quad \frac{1}{15} = \frac{4}{60}, \quad \frac{1}{20} = \frac{3}{60}
]
Summe:
[
\frac{5}{60} + \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}
]
Also:
[
2(r_1 + r_2 + r_3) = \frac{1}{5} \implies r_1 + r_2 + r_3 = \frac{1}{10}
]
Antwort:
Alle drei Arbeiter zusammen erledigen die Arbeit in (\boxed{10}) Tagen.
Zusammenfassung:
- Mit zwei Arbeitern dauert es u.a. 12, 15 oder 20 Tage.
- Die kombinierte Arbeitsrate aller drei ist (\frac{1}{10}) der Arbeit pro Tag.
- Also dauern sie zusammen 10 Tage.